Glidande medelvärde partiell autokorrelation

Tidsserieanalys tsa. Innehåller modellklasser och funktioner som är användbara för tidsserieanalys. Detta inkluderar för närvarande univariate autoregressiva modeller AR, vektorautoregressiva modeller VAR och univariate autoregressiva glidande genomsnittsmodeller ARMA Det innehåller också beskrivande statistik för tidsserier, till exempel autokorrelation, partiell autokorrelationsfunktion och periodogram, Samt de motsvarande teoretiska egenskaperna hos ARMA eller relaterade processer. Det inkluderar också metoder för att arbeta med autogegressiva och rörliga genomsnittspolynomier. Dessutom finns relaterade statistiska tester och några användbara hjälparfunktioner tillgängliga. Uppställningen görs antingen med exakt eller villkorad Maximal sannolikhet eller villkorliga minsta kvadrater, antingen med hjälp av Kalman-filter eller direkta filter. Samtidigt måste funktioner och klasser importeras från motsvarande modul, men huvudklasserna kommer att bli tillgängliga i navigeringsfältet. Modulstrukturen ligger inom is. stattools empiriska egenskaper och test , acf, pacf, gr Vrede-kausalitet, adf-enhetstest, ljung-box-test och others. armodel univariate autoregressive process, uppskattning med villkorlig och exakt maximal sannolikhet och villkorlig minst kvadrater. arimamodel univariate ARMA-process, uppskattning med villkorlig och exakt maximal sannolikhet och villkorlig minst - Squares. vectorar, var vektor autoregressiva process VAR-estimeringsmodeller, impulsresponsanalys, prognosfelvariationer och datavisningsverktyg. kalmanf uppskattningsklasser för ARMA och andra modeller med exakt MLE med Kalman Filter. armaprocess egenskaper för arma-processer med givna parametrar, Detta inkluderar verktyg för att konvertera mellan ARMA, MA och AR representation samt ACF, pacf, spektral densitet, impulsrespons funktion och liknande. liknar armaprocess men arbetar i frekvensdomän. tsatools ytterligare hjälparfunktioner, för att skapa arrays av fördröjda variabler, konstruera regressorer för trend, detrend och liknande. filters hjälperfunktion för filtrering av tidsserier. Några ytterligare funktioner som också är användbara för tidsserieanalys är i andra delar av statistikmodeller, till exempel ytterligare statistiska tester. Vissa relaterade funktioner finns också i matplotlib, nitim och Dessa funktioner är utformade mer för användning vid signalbehandling där längre tidsserier är tillgängliga och arbetar oftare i frekvensområdet. Beskrivande statistik och test. x, objektiv, demean, fft.2 2 Delvis autokorrelationsfunktion PACF. Printervänlig version. I allmänhet är en partiell korrelation en villkorlig korrelation. Det är korrelationen mellan två variabler under antagandet att vi vet och tar hänsyn till värdena av någon annan uppsättning variabler. For exempel, överväga ett regressionskontext där y-svarsvariabeln och x 1 x 2 och x 3 är prediktorvariabler Den partiella korrelationen mellan y och x 3 är korrelationen mellan variablerna bestämd med hänsyn till hur båda y och x 3 är relaterade till x 1 och x 2. Vid regression kunde denna partiella korrelation hittas genom att korrelera resterna från två olika regressioner 1 Regression där vi förutspår y från x 1 och x 2 2 regression där vi förutspår x 3 från x 1 och x 2 I grund och botten korrelerar vi de delar av y och x 3 som inte förutses av x 1 och x 2.Mera formellt kan vi definiera den partiella korrelationen som just beskrivits som. Not att detta också är hur parametrarna Av ar Egotionsmodell tolkas Tänk på skillnaden mellan tolkning av regressionsmodellerna. Y beta0 beta1x2 text y beta0 beta1x beta2x 2.I den första modellen kan 1 tolkas som det linjära beroendet mellan x 2 och y I den andra modellen skulle 2 tolkas som det linjära beroendet mellan x 2 och y med beroende Mellan x och y är redan förklarad. För en tidsserie definieras den partiella autokorrelationen mellan xt och x th som den villkorliga korrelationen mellan xt och x th förutsatt att x th 1 x t-1 uppsättningen observationer som kommer mellan tiden Pekar t och t h. Den 1: a ordnade partiella autokorrelationen definieras som lika med 1: a ordningsautokorrelationen. Den andra ordens fördröjning är delvis autokorrelation. Det här är korrelationen mellan värdena två tidsperioder från varandra beroende på kunskap om värdet mellan Förresten kommer de två avvikelserna i nämnaren att jämföras med varandra i en stationär serie. Den tredje orderfördröjningen delvis autokorrelation är. Och så vidare, för varje lag. Typiskt är matrismanipuleringar som har att göra med kovariansmatrisen av enmultivariate distribution används för att bestämma uppskattningar av de partiella autokorrelationerna. Några användbara fakta om PACF och ACF Patterns. Identification av en AR-modell görs oftast bäst med PACF. För en AR-modell stänger den teoretiska PACF förbi modellens ordning Uttrycket stängs av betyder att teorin i teorin är lika med 0 bortom den punkten. På annat sätt ger antalet icke-nollpartiella autokorrelationer AR-modellens ordning. I modellens ordning menar vi den mest extrema lagret av x som används som prediktor. Exempel i lektion 1 2 identifierade vi en AR 1-modell för en tids serie av årliga antal globala jordbävningar med en seismisk storlek större än 7 0 Följande är provet PACF för denna serie Observera att den första lagringsvärdet är statistiskt signifikant, medan partiella autokorrelationer för alla andra lags inte är statistiskt signifikanta. Detta föreslår en möjlig AR 1-modell för dessa data. Identifiering av en MA-modell är ofta bäst gjort med ACF istället för PACF. För en MA-modell stänger den teoretiska PACF inte, utan slår i stället mot 0 på något sätt. Ett tydligare mönster för en MA-modell finns i ACF. ACF kommer att ha autokorrelationer utan noll Endast vid lag som är inblandade i modellen. Lesson 2 1 inkluderade följande exempel ACF för en simulerad MA 1-serie Notera att den första lagautokorrelationen är statistiskt signifikant medan alla efterföljande autokorrelationer inte är Detta föreslår en möjlig MA 1-modell för data. Modellen som användes för simuleringen var xt 10 wt 0 7 w t-1 I teorin var den första lagautokorrelationen 1 1 1 2 7 1 7 2 4698 och autokorrelationer för alla andra lags 0. Den underliggande modellen som används för MA 1-simuleringen i Lektion 2 1 var xt 10 wt 0 7 w t-1 Följande är den teoretiska PACF-partiella autokorrelationen för den modellen Observera att mönstret gradvis avtar till 0.R notat Den justerade PACF skapades i R med dessa två kommandona. ma1pacf ARMAacf ma 36, pacf TRUE plot ma1pacf, typ h, huvud Theoretisk PACF av MA 1 med theta 0 7,2 1 Flytta genomsnittsmodeller MA modeller. Tidsseriemodeller som kallas ARIMA-modeller kan innefatta autoregressiva termer och eller glidande medelvärden. I vecka 1 lärde vi oss en autoregressiv term på en tid Seriemodell för variabeln xt är ett fördröjt värde av xt Exempelvis är en lag 1-autoregressiv term x t-1 multiplicerad med en koefficient Denna lektion definierar glidande medelvärden. En glidande medelfrist i en tidsseriemodell är ett tidigare fel multiplicerat med en koefficient. Låt oss översätta N 0, sigma 2w, vilket betyder att vikten är identiskt oberoende fördelad, var och en med en normal fördelning med medelvärde 0 och samma varians. Den 1 st ordningsrörande genomsnittsmodellen betecknad med MA 1 är. Xt mu wt theta1w. Den 2: a beställer rörlig genomsnittsmodell, betecknad med MA 2 är. Xt mu wt theta1w theta2. Den q-ordningsrörelserna medellägesmodellen, betecknad med MA q är. Xt mu wt theta1w theta2w prickar thetaqw. Note Många läroböcker och programvara definierar modellen med negativa tecken före villkoren. Detta förändrar inte de allmänna teoretiska egenskaperna hos modellen, även om den vrider de algebraiska tecknen på uppskattade koefficientvärden och oskydda termer i Formler för ACF och avvikelser Du måste kontrollera din programvara för att verifiera om negativa eller positiva tecken har använts för att korrekt skriva den beräknade modellen R använder positiva tecken i sin underliggande modell, som vi gör här. De teoretiska egenskaperna hos en tidsserie med En MA 1-modell. Notera att det enda nonzero-värdet i teoretiskt ACF är för lag 1 Alla andra autokorrelationer är 0 Således är ett sampel ACF med en signifikant autokorrelation endast vid lag 1 en indikator på en möjlig MA 1-modell. För intresserade studenter, Bevis på dessa egenskaper är en bilaga till denna handout. Exempel 1 Antag att en MA 1-modell är xt 10 wt 7 w t-1 där wt överför N 0,1 Således koefficienten 1 0 7 Th E teoretisk ACF ges av. En plot av denna ACF följer. Den plott som just visas är den teoretiska ACF för en MA 1 med 1 0 7 I praktiken har ett prov som vunnits t ge ett så tydligt mönster. Med hjälp av R simulerade vi n 100 Provvärden med hjälp av modellen xt 10 wt 7 w t-1 där w t. iid N 0,1 För denna simulering följer en tidsserieplot av provdata. Vi kan inte berätta mycket av denna plot. Provet ACF för den simulerade data följer Vi ser en spik vid lag 1 följt av allmänt icke-signifikanta värden för lags över 1 Observera att provet ACF inte matchar det teoretiska mönstret för den underliggande MA 1, vilket är att alla autokorrelationer för lags över 1 kommer att vara 0 A Olika prov skulle ha ett något annorlunda prov ACF som visas nedan, men skulle troligen ha samma breda egenskaper. Deoretiska egenskaperna hos en tids serie med en MA 2-modell. För MA 2-modellen är de teoretiska egenskaperna följande. Notera att den enda nonzero värden i teoretisk ACF är för lags 1 och 2 autocorrelat Joner för högre lags är 0 Så, ett ACF-prov med signifikanta autokorrelationer vid lags 1 och 2, men icke-signifikanta autokorrelationer för högre lags indikerar en möjlig MA 2-modell. N 0,1 Koefficienterna är 1 0 5 och 2 0 3 Eftersom detta är en MA 2, kommer den teoretiska ACF endast att ha nonzero-värden endast vid lags 1 och 2.Values ​​av de två icke-oberoende autokorrelationerna är. En plot av den teoretiska ACF följer. Som nästan alltid är fallet, samplingsdata som vunnit t uppträder ganska Så perfekt som teori Vi simulerade n 150 provvärden för modellen xt 10 wt 5 w t-1 3 w t-2 var w t. iid N 0,1 Tidsseriens plot av data följer Som med tidsseriens plot för MA 1-provdata kan du inte berätta mycket för. Provet ACF för den simulerade data följer Mönstret är typiskt för situationer där en MA 2-modell kan vara användbar. Det finns två statistiskt signifikanta spikar vid lags 1 och 2 följt av icke - - värda värden för andra lags Observera att på grund av provtagningsfel stämde provet ACF inte Det teoretiska mönstret exactly. ACF för General MA q Models. A egenskap av MA q modeller i allmänhet är att det finns icke-oberoende autokorrelationer för de första q lagsna och autokorrelationerna 0 för alla lags q. Non-unikhet av samband mellan värdena på 1 och rho1 I MA 1-modell. I MA 1-modellen, för vilket värde som helst av 1, ger den ömsesidiga 1 1 samma värde. För exempel, använd 0 5 för 1 och använd sedan 1 0 5 2 för 1 Du får rho1 0 4 I båda fallen. För att tillfredsställa en teoretisk begränsning som kallas invertibilitet begränsar vi MA1-modellerna till att ha värden med absolutvärdet mindre än 1 I exemplet just givet är 1 0 5 ett tillåtet parametervärde medan 1 1 0 5 2 inte kommer att. Invertibility av MA modeller. En MA-modell sägs vara omvändbar om den är algebraiskt ekvivalent med en konvergerande oändlig ordning AR-modell. Genom konvertering menar vi att AR-koefficienterna minskar till 0 när vi flyttar tillbaka i tiden. Invertibility är en begränsning programmerad till tidsserie programvara som används för att uppskatta coeff icients of models med MA termer Det är inte något vi söker efter i dataanalysen Ytterligare information om invertibility-begränsningen för MA 1-modeller finns i bilagan. Avancerad teorinotering För en MA q-modell med en specificerad ACF finns det endast en omvänd modell Den nödvändiga förutsättningen för invertibilitet är att koefficienterna har värden så att ekvationen 1- 1 y - qyq 0 har lösningar för y som faller utanför enhetens cirkel. R Kod för exemplen. I exempel 1 ritade vi Teoretisk ACF av modellen xt 10 wt 7w t-1 och sedan simulerade n 150 värden från denna modell och ritade provtidsserierna och provet ACF för de simulerade data R-kommandona som användes för att plotta den teoretiska ACF var. acfma1 ARMAacf ma c 0 7, 10 lags av ACF för MA 1 med theta1 0 7 lags 0 10 skapar en variabel som heter lags som sträcker sig från 0 till 10 plot lags, acfma1, xlim c 1,10, ylab r, typ h, huvud ACF för MA 1 med theta1 0 7 abline h 0 lägger en horisontell axel till plot. Th E första kommandot bestämmer ACF och lagrar det i ett objekt med namnet acfma1 vårt val av namn. Plot-kommandot 3: e kommandotyperna lags mot ACF-värdena för lags 1 till 10 ylab-parametern markerar y-axeln och huvudparametern sätter en titel på plottet. För att se de numeriska värdena för ACF använder du bara kommandot acfma1. Simuleringen och diagrammen gjordes med följande kommandon. Lista ma c 0 7 Simulerar n 150 värden från MA 1 x xc 10 lägger till 10 för att göra medelvärdet 10 Simulering standardvärden betyder 0 diagram x, typ b, huvud Simulerat MA 1 data acf x, xlim c 1,10, huvud ACF för simulerade provdata. I exempel 2 ritade vi den teoretiska ACF av modellen xt 10 wt 5 w t-1 3 w t-2 och simulerade sedan n 150 värden från denna modell och ritade provtidsserierna och provet ACF för den simulerade Data R-kommandona som användes var. acfma2 ARMAacf ma c 0 5,0 3, acfma2 lags 0 10 plot lags, acfma2, xlim c 1,10, ylab r, typ h, huvud ACF för MA2 med theta1 O5, theta2 O 3 abline h 0 lista ma c 0 5, 0 3 x xc 10 plot x, typ b, huvud Simulerad MA 2-serie acf x, xlim c 1,10, huvud ACF för simulerade MA 2 Data. Appendix Bevis av egenskaper hos MA 1 . För intresserade studenter är här bevis på teoretiska egenskaper hos MA 1-modellen. Variantext xt text mu wt theta1 w 0 text wt text theta1w sigma 2w theta 21 sigma 2w 1 theta 21 sigma 2When h 1, föregående uttryck 1 W 2 För någon h 2 , Det föregående uttrycket 0 Anledningen är att, enligt definitionen av oberoende av Wt E wkwj 0 för någon kj vidare, eftersom wt har medelvärdet 0, E wjwj E wj 2 w 2.For en tidsserie. Använd detta resultat för att få ACF ges ovan. En inverterbar MA-modell är en som kan skrivas som en oändlig ordning AR-modell som konvergerar så att AR-koefficienterna konvergerar till 0 när vi rör sig oändligt tillbaka i tiden. Vi ska visa omvändlighet för MA 1-modellen. Vi då Substitutionsförhållande 2 för w t-1 i ekvation 1. 3 zt wt theta1 z-theta1w wt theta1z-theta 2w. At tiden t-2 ekvation 2 blir. Vi ersätter sedan förhållandet 4 för w t-2 i ekvation 3. zt wt Theta1 z - theta 21w wt theta1z - theta 21 z - theta1w wt theta1z - theta1 2z theta 31.Om vi ​​skulle fortsätta oändligt, skulle vi få oändlig ordning AR - modellen. Zt wt theta1 z - theta 21z theta 31z - theta 41z prickar. Observera att om 1 1 kommer koefficienterna som multiplicerar lagren av z ökar oändligt i storlek när vi flyttar tillbaka i tiden. För att förhindra detta behöver vi 1 1 Detta är Villkoret för en inverterbar MA 1-modell. Infinite Order MA-modellen. I vecka 3 ser vi att en AR 1-modell kan konverteras till en oändlig MA-modell. Xt - mu wt phi1w phi 21w prickar phi k1 w prickar summa phi j1w. Denna summering av tidigare vita ljudvillkor är känd som kausalrepresentation av en AR 1 Med andra ord är xt en speciell typ MA med ett oändligt antal termer Går tillbaka i tid Detta kallas ett oändligt order MA eller MA En ändlig ordning MA är en oändlig ordning AR och någon ändlös ordning AR är en oändlig ordning MA. Recall i vecka 1 noterade vi att ett krav på en stationär AR 1 är att 1 1 Låt oss beräkna Var xt med hjälp av kausalrepresentationen. Detta sista steg använder ett grundläggande fakta om geometriska serier som kräver phi1 1 annars skiljer serien bort.